円筒の一次元非定常伝熱

計算ツール

一定の温度下に置かれた円筒の、加熱もしくは冷却の温度変化を計算します。
①材料②温度③熱伝達④時間のそれぞれの条件を設定してください。
材料の物性値にはデフォルトでは炭素鋼のおおよその値が入力されています。
※板の厚さが薄いと計算がエラーになる場合があります

計算式

円筒の一次元の熱伝導は以下の熱伝導方程式で表されます。
$$\rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)$$
\(\rho\)：密度 [kg/m³]　　\(C_p\)：定圧比熱 [J/kgK]　　\(k\)：熱伝導率 [W/m²K]
\(T\)：温度 [℃]　　\(t\)：時間 [s]　　\(x\)：距離 [m]

この微分方程式を以下の差分方程式に近似し反復計算を行っています。
$$\rho C_p\frac{T^{n+1}_i-T^n_i}{\Delta t}=k\frac{(1+\frac{1}{2i})T^n_{i+1}-2T^n_i+(1-\frac{1}{2i})T^n_{i-1}}{\Delta r^2}$$
\(\Delta t\)：時間変化 [m]　　\(\Delta x\)：微小距離 [m]
\(T^n_i\)：時刻tでの位置xの温度 [℃]　　\(T^{n+1}_i\)：時刻t+Δtでの位置xの温度 [℃]
\(T^n_{i+1}\)：時刻tでの位置x+Δxの温度 [℃]　　\(T^n_{i-1}\)：時刻tでの位置x-Δxの温度 [℃]

なお本ツールではΔtは0.05秒、Δxは板厚の1/10として計算しています。

参考文献・URL

• 「熱伝導」（2022年2月13日 (日) 10:52　UTCの版）『ウィキペディア日本語版』。
  https://ja.wikipedia.org/wiki/熱伝導